MAKALAH PELUANG, PERMUTASI dan KOMBINASI

 PELUANG, PERMUTASI dan KOMBINASI

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Dalam materi ini kita membahas tentang peluang, permutasi dan kombinasi. Yang sudah pernah dipelajari di SMA. Makalah ini akan membahas tentang permutasi, peluang dan kombinasi. Makalah tentang peluang, permutasi dan kombinasi diharapkan mampu memberikan wawasan yang mengenai pengertian peluang, permutasi dan kombinasi.

Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutan.

Kombinasi adalah suatu pilihan dari unsur-unsur yang ada tanpa memperhatikan urutannya.

Untuk mendukung kelancaran terhadap penguasaan materi dalam makalah ini perlu juga dipelajari teknik menghitung yang mencangkup prinsip penkumlahan ataupun perkalian serta permutasi dan kombinasi.

Hitungan peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar.

B.     Rumusan Masalah

1.      Apa yang dimaksud dengan permutasi, peluang dan kombinasi?

2.      Apa saja macam-macam permutasi?

3.      Apa contoh-contoh permutasi, peluang dan kombinasi?

C.    Tujuan

1.      Mampu memahami tentang defenisi permutasi, peluang dan kombinasi

2.      Mampu memahami tentang macam-macam permutasi

3.      Memahami contoh-contoh permutasi, peluang dan kombinasi

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Peluang

Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadianatau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan dimulai dengan suatu pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari suatu percobaan dinamakan titik sampel. Peluang disebut juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan.[1]

Peluang semata-mata adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa. Di dalam peluang dikenal ruang sampel dan titik sampel. Ruang sampel adalah himpunan yang berisi semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel biasanya dinotasikan dengan S.

Contoh:

Suatu percobaan melempar suatu mata uang logam. Ruang sampelnya adalah  S= (G,A)

Contoh:

Suatu percobaan mengambilsatu buah kartu dari enam buah kartu yang diberi nomor 1 sampai 6. Ruang sampelnya adalah S= (1,2,3,4,5,6).

B.     Percobaan  dan Hasil Dari Suatu Percobaan

Contoh:

Percobaan melempar satu mata uang logam

Hasil yang mungkin:

1.      Tampak sisi angka (A), yaitu nilai Rp.500

2.      Tampak sisi gambar (G), yaitu gambar burung garuda

Contoh:

Percobaan melempar satu mata dadu

Hasil yang mungkin: sisi-sisi dadu yang menunjukkan jumlah bulatan 1,2,3,4,5, atau 6,

Contoh:

Dalam menjalani kehidupan sehari-hari, secara sengaja atau tidak sengaja manusia melalukan suatu percobaan. Misalnya ibu yang menunggu kelahiran anaknya tanpa sadar melalukan percobaan. Ibu tersebut melakukan suatu pengamatar, anaknya akan lahir laki-laki atau perempuan.

C.    Ruang Sampel dan Titik  Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil/ kejadian yang mungkin terjadi dan dilambangkan dengan S. Di dalam peluang dikenal ruang sampel dan titik sampel.[2]

Contoh:

Suatu percobaan melempar satu mata uang logam. Ruang sampelnya adalah S= (A, G)

Contoh:

Suatu percobaan mengambil satu buah kartu yang diberi nomor 1 sampai dengan 6. Ruang sampelnya adalah S= (1,2,3,4,5,dan 6).

Pengetosan Dua Mata Uang

	A	G
A	(A,A)	(A,G)
G	(G,A)	(G,G)

Banyak titik sampel: 2x2 = 4

Pengetosan Dua Dadu

	1	2	3	4	5	6
1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
2	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
3	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6
4	4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6
5	5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,7
6	6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6

Banyak titik sampel= 6x6 = 36

Pengetosan Mata Uang dan Dadu

	1	2	3	4	5	6
A	A,1	A,2	A,3	A,4	A,5	A,6
G	G,1	G,2	G,3	G,4	G,5	G,6

D.    Peluang Suatu Kejadian

Pada suatu percobaan terdapat n hasi; yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P (A) ditentukan dengan rumus.

Contoh:

Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap

Jawab:

S= { 1,2,3,4,5,6} maka n (S) = 6 misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka A= {2,4,6} dan n (A) = 3

Misalnya S yang berisi n(A) hasil. Peluang kejadian A didefenisikan:

Peluang (P)= Banyak kejadian muncul/banyak kejadian yang mungkin

Contoh:

P= 400/ 1200 = 1/3

Komplemen nilai di atas

= 1200-400: 1200

= 800/1200

= 2/3

Frekuensi = banyak kejadian muncul/banyak percobaan

Frekuensi harapan = banyak percobaan x peluang

E.     Pengertian Permutasi dan Kombinasi

1.      Faktorial

Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (simbol n!) didefenisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n. Untuk n = 0, nol faktorial didefinisikan = 1.

n! = 1.2.3... (n-1).n

0! = 1

2.      Permutasi

Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1)!. [3]

Pⁿ_k = n!

       (n-k)!

Contoh:

Misalkan dalam kelas matematika Diskrit ada 20 mahasiswa. Akan dipilih sesorang yang akan menjadi ketua kelas dan seseorang yang menjadi bendahara. Untuk memilih ketua, ada 20 calon. Jadi, ada 20 cara. Untuk memilih bendahara, ada 19 calon sisanya sehingga untuk memilih ketua dan bendahara ada 20.19 = 380 cara. Hal itu berbeda

Dengan banyak cara untuk memilih 2 orang di antara mahasiswa peserta kuliah matematika diskrit yang mewakili teman-teman yang lain untuk menghadapi pimpinan universitas. Banyaknya cara yang mungkin:

20  =    20!     =  20.19 = 190 cara

2          2! 18!     1.2

Contoh:

Dengan penulisan nPk, hitung 10P4. Kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7.

Jadi 10P4 = 10 x 9 x 8 x 7 x

                 = 5040

Contoh permutasi siklis:

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda ?

Jawab:

Banyak cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi sebuah meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur

a.       Permutasi siklis

Permutasi siklis adalah peristiwa permutasi dengan bentuk melingkar[4]. Rumusnya adalah

Pⁿ_siklis = (n-1)!

Contoh:

 Permutasi siklis adalah banyaknya cara empat orang duduk dalam formasi malingkar, maka banyaknya kemungkinan adalah

P⁴_siklis = ( 4 – 1 )! = 3! = 6

Jadi ada 6 cara duduk melingkar jika terdapat 4 orang yang duduk.

b.      Permutasi dengan beberapa suku yang sama

Permutasi dengan beberapa suku yang sama adalah kejadian permutasi dimana terdapat beberapa jenis suku yang sama. Misalkan saja jenis suku yang sama adalah s_1, s_2, dan  s_3, dimana banyaknya s₁ adalah a suku, s₂ adalah b, dan s₃ adalah c suku, dari suatu semesta kejadian n, maka permutasinya adalah.

Pⁿ_s1,s2,s3  =  n!

                 a! b! c!

Contoh kasusnya adalah, menentukan banyak kata yang dapat disusun dari huruf-huruf penyusun kata MATEMATIKA. Perhatikan pada kata tersebut ada 10 huruf, jadi semesta n = 10.

Dan terdapat 3 jenis huruf yang sama, yaitu A ada 3, M ada 2 dan T ada 2. Maka banyak kata yang dapat dibentuk adalah

P¹⁰_{A, M, T} = 10!                         = 10. 9. 8.7.6.5.4.3!  = 151200

­­­

                  3! 2! 2!                  3! 2! 2!

3.      Kombinasi

Kombinasi adalah banyaknya permutasi tanpa memperhatikan urutan[5]. Rumus kombinasi adalah

Cⁿ_k = n!

            (n-k)! k!

Contoh penggunaan kombinasi adalah banyaknya cara memilih sebuah tim voli (6 pemain) dari 10 orang yang tersedia yaitu

C¹⁰₆ = 10!                    = 10!    =10.9.8.7.6!  = 210

            (10-6)! 6!             4! 6!             4! 6!

 

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Dalam makalah ini dapat dipelajari matematika tentang peluang, kombinasi dan permutasi. Peluang merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadianatau peristiwa. Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Kombinasi adalah banyaknya permutasi tanpa memperhatikan urutan.

B.     Saran

Makalah ini masih mempunyai banyak kekurangan, apabila ada kesalahan penulisan maupun penyusunan dalam makalah ini kami mohon kritik dan saran para membaca. Terimakasih atas partisipasinya.

  

DAFTAR PUSTAKA

Jek Siang Jong, Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Yogyakarta: ANDI, 2009.

Purniati Tia, Matematika, Jakarta: Direktorat Jendral Pendidikan Islam Departemen Agama Repulik Indonesia, 2009.

Singgih, Matematika Menyongsong OSN SMP, Yogyakarta: Pustaka Pelajar, 2012.

Wirodikusuma, Matematika 2000 SMU Kelas 2 Caturwulan, Jakarta: Erlangga, 2000.

---

[1] Tia Purniati, Matematika, (Jakarta: Direktorat Jendral Pendidikan Islam Departemen Agama Repulik Indonesia, 2009), hlm.,327.

[2] Ibid.,hlm, 331.

[3] Jong Jek Siang, Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, (Yogyakarta: ANDI, 2009), hlm., 168.

[4] Wirodikusuma, Matematika 2000 SMU Kelas 2 Caturwulan,(Jakarta: Erlangga, 2000),hlm., 34.

[5] Singgih, Matematika Menyongsong OSN SMP, (Yogyakarta: Pustaka Pelajar, 2012), hlm.,52.